Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）求菱形AEDF的面积；

（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20；（3）2秒

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一可得出D为BC的中点，结合E、F分别为AB、AC的中点可得出DE和DF是△ABC的中位线，根据中位线的定义可得出DE∥AC、DF∥AB，即四边形AEDF是平行四边形，根据三角形中位线定义可得出DE=AC、DF=AB，结合AB=AC即可得出DE=DF，从而得出四边形AEDF是菱形；

（2）根据中位线的定义可得出EF的长度，根据菱形的面积公式可求出菱形AEDF的面积；

（3）由中位线的定义可得出EF∥BC，根据平行四边形的判定定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

详解：（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点．

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴DE和DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形．

∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，

∴AE=AF，

∴四边形AEDF是菱形，

（2）解：∵EF为△ABC的中位线，

∴EF=BC=5．

∵AD=8，AD⊥EF，

∴S菱形AEDF=ADEF=×8×5=20．

（3）解：∵EF∥BC，

∴EH∥BP．

若四边形BPHE为平行四边形，则须EH=BP，

∴5﹣2t=3t，

解得：t=1，

∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．

∵EF∥BC，

∴FH∥PC．

若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC，

∴2t=10﹣3t，

解得：t=2，

∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形．