Question

【题目】已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）点O在∠BAC的角平分线上，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；

（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．

（1）证明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠CDB=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．

理由：连接AO并延长交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF=∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上．