Question

【题目】如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．

（1）求BD的长；

（2）①如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；

②如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）①能，AP=4，理由见解析②3、3.5或4．

【解析】

试题分析：（1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长；

（2）①由题可知只能有∠QPC为直角，当PQ=PC时，可证得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的长；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．

解：

（1）如图1，连接BD，

∵，

∴AB=4，BC=6，

则在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD==2；

（2）①能，AP=4，理由如下：

如图2，由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角，所以只有∠QPC=90°，则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，

∴∠QPA=∠PCD，

当PQ=PC时，

在Rt△APQ和Rt△DCP中

∴△APQ≌△DCP（AAS），

∴AP=CD=4，

故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形，此时AP=4；

②当PC=EC=5时，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3，

当PC=PE=5时，如图3，过P作PF⊥BC交BC于点F，则FC=EF=PD=EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5，

当PE=EC=5时，如图4，过E作EH⊥AD于点H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，

综上可知当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长为3、3.5或4．