Question

【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 =3，求 的值．

（1）尝试探究 在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ， CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ．
（2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 =m（m＞0），求 的值（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 =a， =b，（a＞0，b＞0），则 的值是（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）AB=3EH；CG=2EH；
（2）解：如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．

∴ = =m，

∴AB=mEH．

∵AB=CD，

∴CD=mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴ =2，

∴CG=2EH．

∴ = =

（3）ab
【解析】解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示． 则有△ABF∽△EHF，
∴ ，
∴AB=3EH．
∵ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
= = = ．
所以答案是：AB=3EH；CG=2EH； ．

3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴ =b，
∴CD=bEH．
又 =a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ = = =ab，
所以答案是：ab．

【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和梯形的定义的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形才能正确解答此题．