Question

【题目】如图，等边三角形的边长为4，点是△ABC的中心，，的两边与分别相交于，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确的个数是（ ）

①；②；③；④周长最小值是9.

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，利用全等三角形的对应边相等可对①进行判断；再利用S =S 得到四边形ODBE的面积= S ，则可对③进行判断，然后作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S = OE，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断，

接下来由△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，结合垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断.

连接OB，OC，如图.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵点O是△ABC的中心，

∴OB=OC，OB. OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，

而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，

∴∠BOD=∠COE.

在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE，BO=CO，∠OBD=∠OCE，

∴△BOD≌△COE，

∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；

∴S =S ，

∴四边形ODBE的面积=S = S =× ×4 = ，所以③正确；

作OH⊥DE，如图，则DH=EH，

∵∠DOE=120°，

∴∠ODE=∠OEH=30°．

∴OH=OE，HE=OH= OE，

∴DE= OE，

∴S△ODE= ··OE· OE= OE，

即S 随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，

∴S≠S ，所以②错误；

∵BD=CE，

∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+ OE，

当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= ，

∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④错误.

故选：B.