Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____．

Answer 1

【答案】45°或30°

【解析】

先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．

∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF＝45°，

设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，

∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，

分类如下：

①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，

解得：x＝22.5°．

此时∠B＝2x＝45°；

见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．

②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，

解得x＝37.5°，

此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．

图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．

③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，

此方程无解．

∴DE＝BE不成立．

综上所述，∠B＝45°或30°．

故答案为：45°或30°．