Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，弧BA＝弧BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）求证：△ABE∽△DBA；

（3）若BD＝8，BE＝6，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB＝4．

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠ABD＝90°，∠C＝∠D，证出∠BAD+∠BAF＝90°，得出AF⊥AD，即可得出结论；

（2）由圆周角定理得出∠BAC＝∠C，∠C＝∠D，得出∠BAC＝∠D，再由公共角∠ABE＝∠DBA，即可得出△ABE∽△DBA；

（3）由相似三角形的性质得出，代入计算即可得出结果．

（1）证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴∠BAD+∠D＝90°，

∵∠BAF＝∠C，∠C＝∠D，

∴∠BAF＝∠D，

∴∠BAD+∠BAF＝90°，

即∠FAD＝90°，

∴AF⊥AD，

∴AF是⊙O的切线；

（2）证明：∵ ，

∴∠BAC＝∠C，

∵∠C＝∠D，

∴∠BAC＝∠D，即∠BAE＝∠D，

又∵∠ABE＝∠DBA，

∴△ABE∽△DBA；

（3）解：由（2）得：△ABE∽△DBA，

∴，即，

解得：AB＝．