Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(﹣1，0)，C(0，3)两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D与点C关于抛物线对称轴对称，作直线AD．点P在抛物线上，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，交直线AD于点Q，过点P作PG⊥AD，垂足为点G，连接AP．设点P的横坐标为m，PQ的长度为d．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标及直线AD的解析式；

(3)当点P在直线AD上方时，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；

(4)当点P在直线AD上方时，若PQ将△APG分成面积相等的两部分，直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D的坐标为(2，3)，直线AD的解析式为y＝x+1；（3）d关于m函数关系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值为；（4）m的值为0

【解析】

（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式；

（2）将y＝﹣x2+2x+3配方得抛物线的对称轴，根据轴对称的性质可得点D的坐标，再根据待定系数法可求直线AD的解析式；

（3）根据两点间的距离公式可得d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，依此可求d的最大值；

（4）可设直线PG的解析式为y＝﹣x+p，根据中点坐标公式可得G的坐标，再根据待定系数法可求m的值．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵将y＝﹣x2+2x+3配方，得y＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的对称轴是直线x＝1．

∴点D的坐标为（2，3）．

设直线AD的解析式为y＝kx+n，

由题意，得，

解得．

∴直线AD的解析式为y＝x+1．

（3）∵点P的横坐标为m，

∴点P，Q的纵坐标分别为﹣m2+2m+3，m+1，

∴d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝，

∴d关于m函数关系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值为．

（4）设直线PG的解析式为y＝﹣x+p，

∵PQ将△APG分成面积相等的两部分，

∴G的坐标为（2m+1，2m+2），

∴，

解得m1＝0，m2＝﹣1（不合题意舍去）．

故m的值为0．