Question

【题目】同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°．下面我们就在四边形中来研究几个问题：

(1)问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；

(2)探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍成立，并说明理由；

(3)实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(点O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进，同时，舰艇乙沿北偏西50°的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)结论EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是210海里．

【解析】

(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;

(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题

(3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与(2)同理可证.

解：(1)EF＝BE+DF，证明如下：

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案为 EF＝BE+DF．

(2)结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∠EOF＝70°，

∴∠EOF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE+BF成立，

即EF＝2×(45+60)＝210(海里)．

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．