Question

【题目】如图，为菱形对角线的交点，是射线上的一个动点（点与点，，都不重合），过点，分别向直线作垂线段，垂足分别为，，连接，．

（1）①当点在线段上时，在图1中依据题意补全图形：

②猜想与的数量关系为 ．

（2）小东通过观察、实验发现点在线段的延长线上运动时，（1）中的猜想始终成立．

小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明此猜想的几种想法：

想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与全等的三角形，从而得到相等的钱段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；

想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组和，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四条边相等，可以构造一对以和为对应边的全等三角形，即可证明猜想．

…

请你参考上面的想法，在图2中帮助小东完成画图，并证明此猜想（一种方法即可）．

（3）当时，请直接写出线段，，之间的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②OE=OF；（2）见解析；（3）EF=CF+AE．

【解析】

（1）①由题意直接补全图形即可；②取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，由菱形的性质得出AB=BC，AC⊥BD，由P，Q是AB，BC的中点，得出OP=PB=AB，OQ=QB=BC，则OP=OQ，同理，PE=QF，证得∠OPE=2∠OBE，∠OQF=2∠OCF，再证得∠OBE=∠OCF，得出∠OPE=∠OQF，由SAS证得△OPE≌△OQF，即可得出结论；

（2）想法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；

（3）先判断出四边形OPBQ是菱形，再判断出∠EOF=∠POQ=90°，再借助等腰直角三角形的性质即可得出结论．

解：（1）①补全的图形如图1所示：

②OE=OF；理由如下：

取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，

如图1-1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AC⊥BD，

∵P，Q是AB，BC的中点，

∴OP=PB=AB，OQ=QB=BC，

∴OP=OQ，

同理，PE=QF，

∵OP=PB，PE=PB，

∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA，

∴∠OPA-∠EPA=2∠OBA-2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE，

同理，∠OQF=2∠OCF，

∵AC⊥BD，CF⊥BM，

∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．

∴∠OBE=∠OCF，

∴∠OPE=∠OQF，

在△OPE和△OQF中，

，

∴△OPE≌△OQF（SAS），

∴OE=OF；

故答案为：OE=OF；

（2）想法1：

证明：延长EO交FC的延长线于点N，如图2所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=CO，

∵AE⊥BM，CF⊥BM，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠CNO，

在△AOE和△CON中，

，

∴△AOE≌△CON（ASA），

∴OE=ON=EN，

∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，

∴OF=EN，

∴OE=OF；

（3）如图3所示：

由（2）想法1，得出△AOE≌△CON，

∴AE=CN，OE=ON，

由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，

∵四边形ABCD是菱形，

由（2）知，OP=BP=OQ=BQ．

∴四边形OPBQ是菱形，

∴∠POQ=90°

由（2）想法2，得出△OPE≌△OQF，

∴∠POE=∠QOF，

∴∠EOF=∠POQ=90°，

∴∠FEN=45°，

在Rt△EFN中，∠FEN=45°，

∴EF=FN=CF+CN=CF+AE．

故答案为：EF=CF+AE．