Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．

（1）证明：∠AFM=45°；

（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，请你在图2的位置上画出图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请猜想∠AFM的度数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不成立．∠AFM=135°．

【解析】试题分析：（1）连接EM，根据AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根据直角三角形的性质可知△EMC是等腰直角三角形；再结合平行线的性质可知∠AFM=45度．

（2）根据题意画出图形，再用（1）中方法证明∠AFM=45°不成立．

试题解析：证明：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．

∵AE=MB，AM=CB，∴△AEM≌△BMC，∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．

∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠BMC+∠AME=90，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠MCE=45°．∵AN∥CE，∴∠AFM=∠MCE=45°．

解：（2）画出图②．

不成立．∠AFM=135°．

连接ME．前半部分证明方法与（1）同，∴∠MCE=45°．

∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°，∴∠AFM=135°．