Question

【题目】如图，是⊙的直径，弦 于点，过点的切线交的延长线于点，连接DF．

（1）求证：DF是⊙的切线；

（2）连接，若=30°，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，结论成立.

(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.

（1）证明：连接OD

∵CF是⊙O的切线

∴∠OCF=90°

∴∠OCD+∠DCF=90°

∵直径AB⊥弦CD

∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线

∴CF=DF

∴∠CDF=∠DCF

∵OC=OD，

∴∠CDO=∠OCD

∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线

（2）解：连接OD

∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°

∴∠OCB=60°

∵OC=OB

∴ΔOCB为等边三角形，

∴∠COB=60°

∴∠CFO=30°

∴FO=2OC=2OB

∴FB=OB= OC =2

在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°

∴CF

∴CD=2 CF