Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

∴C（8，0），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x

（2）

解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，

∴PC=10﹣2t．

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

∴当t的 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似

（3）

解：存在符合条件的M、N点，

EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，

若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；

则M（4， ）；

而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，

则N（4，﹣ ）；

∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4， ），N（4，﹣ ）

【解析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．