Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，经过点B（0，3）和点（2，3），与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），且OD=OB．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接AB，BD，DA，试判断△ABD的形状；
（3）点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，△BPD的面积最大？求出此时点P的坐标及△BPD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（0，3）和点（2，3）的纵坐标相同，

∴抛物线的对称轴为x=1，OB=3．

∵OD=OB，

∴OD=3．

∵抛物线与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），

∴D（3，0）．

将点B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入抛物线的解析式得： ，

解得：a=﹣1，b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴点A的坐标为（1，4）．

依据两点间的距离公式可知：AB2=（1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AD2=（3﹣1）2+（4﹣0）2=20，BD2=（3﹣0）2+（0﹣3）2=18，

∴AB2+BD2=AD2．

∴△ABD为直角三角形

（3）

解：如图所示：连结OP．

设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）．

△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积

= ×3×x+ ×3×（﹣x2+2x+3）﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴当x= 时，△DBP的面积最大，最大值为 ．

将x= 代入抛物线的解析式得y= ，

∴点P的坐标为（ ， ）

【解析】（1）由点B的坐标可知OB=3，OD=3，故此可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先由抛物线的解析式求得点A的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可（3）如图所示：连结OP．设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）．依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积，列出△DBP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．