Question

【题目】若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．

（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．

（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；

（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；（2）ac＝﹣2；（3）m的最大值为6．

【解析】

（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；

（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；

（3）依照（2）的方法推出b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．

（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：

由y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．

又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，

所以其顶点坐标是（2，﹣2）．

∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，

∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．

对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；

（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．

又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），

∴＝．

∵4﹣4ac≠0，

∴||＝，

∴ac/span>＝﹣2；

（3）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|=

又∵抛物线的顶点坐标为，

∴.

∵，

∴，

得b2﹣4c＝12，

∴c＝，

∴C3：y＝x2+bx+，

∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），

∴该等边抛物线过（1，1），

∴1+b+＝1，

解得b＝﹣6或b＝2，

又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，

∴b＜﹣2，

∴b＝﹣6，

∴y＝x2﹣6x+6，

联立，

解得x＝1或x＝6，

∴m的最大值为6．