Question

【题目】已知，抛物线y=ax+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；
（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线
对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

由A（-3，0）和B（2，0），得：

即 = ax+bx+4

∴

∴

∴ .

（2）

易得C（0,4），则BC= .

由 可对称轴为x= ,

则可设点G的坐标为 ，

∵点D是BC的中点

∴点D的坐标为 ，

由旋转可得，DG=DB

∴ ……………

∴ ………

∴点G的坐标为 或

（3）

①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，

设 ，

∵C ，A ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当 时， ，

∴D ，

∴F ；

易得

∴当 时，y=5，

∴D ，

∴F ；

②当BE为菱形的边时，有DF∥BE

I)当点D在直线BC上时

设D ，则点F

∵四边形BDFE是菱形

∴FD=DB

根据勾股定理得，

整理得： =0，

解得： ，

∴F 或

II）当点D在直线AC上时

设D ，则点F

∵四边形BFDE是菱形，

∴FD=FB，

根据勾股定理得，

整理得： ，

解得： (舍去)，

∴F ，

综上所述，点F的坐标分别为： ， ， ，

， .

【解析】（1）可将三个点的分别代入抛物线可解出；或都运用两点式简便求解；（2）由旋转可得DG=DB，因为D是BC中点，所以DB= BC，求DB的长，和D的坐标，因为G在对称轴上的点，则横坐标为 ，由勾股定理构造方程，解出G的纵坐标；（3）分类讨论：BE在x轴上，所以当BE为对角线上时，则FD也为对角线，它们互相平分且垂直，而点F在对称轴上，D也在对称轴上，所以点D与F关于x轴对称，则点D为AC与对称轴的交点，BC与对称轴的交点，求出点D即可；当BE为边时，根据对边平行可得必有DF//BE，则D，F的纵坐标相等，则当点D在BC上时，可设点D的坐标，从而可得点F的坐标由FD=DB，构造方程解得D的坐标，F的坐标;当点D在AC上时，同理.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．