Question

【题目】如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接，，则下列结论：①≌；②；③；④，其中正确的个数是（ ）个

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求得∠GAF=45°，即可得到∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．

∵△AFE是由△ADE折叠得到，
∴AF=AD，∠AFE=∠AFG=∠D=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵ ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
故①正确；
∵正方形ABCD中，AB=6，CD=3DE，
∵EF=DE=CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
∴BG=3，CG=6-3=3；
∴BG=CG；
∴②正确．
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
∴③正确
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°．
∴④错误．
故选：C．