Question

【题目】（题文）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________________(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．

Answer 1

【答案】

【解析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．

当∠ABP=90°时（如图2）．

∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，

当∠APB=90°时，分两种情况讨论：

情况一：（如图1）．

∵AO=BO，∴PO=BO．

∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形．

∵AB=BC=4，∴AP=ABsin60°=4×=2；

情况二：如图3．

∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO．

∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2．

故答案为：2或2或2．