Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过AD的中点O作EF⊥AD，分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）判断四边形AFDE是什么四边形？请说明理由；
（2）若BD=8，CD=3，AE=4，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵O是AD的中点，且EF⊥AD，

∴AE=DE，AF=DF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAO=∠FAO，

∵∠EOA=∠FOA=90°，

∴∠OEA=∠OFA，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DF=DE，

∴四边形AEDF是菱形．

（2）解：∵四边形AEDF是菱形，

∴DE∥AC．

∴△BDE∽△BCA．

∴ ，

∴ =

∴AC=

∴CF=AC﹣CF=

【解析】（1）由于O是AD的中点，且EF⊥AD，所以AE=DE，AF=DF，由于AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO=90°，从易证AE=AF=DF=DE，所以四边形AEDF是菱形．（2）由DE∥AC可知△BDE∽△BCA，从而可知 ，代入数据即可求出AC的长度，从而可知CF的长度．