Question

【题目】如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣ ，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．

（1）求抛物线C1的解析式；
（2）过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣3，0），M（﹣ ，5）代入y=ax2+bx+4得，

，解得 ，

所以抛物线C1的解析式为y=﹣ x2﹣ x+4

（2）解：令y=0，则﹣ x2﹣ x+4=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∴B（1，0），

令x=0，则y=4，∴C（0，4）．

由题意，知M′（ ，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，

∴AB′=2．

设直线A′C的解析式为y=px+q．

把A′（3，0），C（0，4）代入，

得 ，解得 ，

∴y=﹣ x+4，

当x= 时，y=﹣ × +4=2，∴D（ ，2）．

由勾股定理得，AC= =5，DA′= = ．

设P（m，0）．

当m＜3时，此时点P在点A′的左边，

若 = ，即有△DA′P∽△CAB′，

∴ = （3﹣m），解得m=2，

∴P（2，0）．

若 = ，即有△DA′P∽△B′AC，

∴ = （3﹣m），解得m=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）．

当m＞3时，此时点P在点A′的右边，

∵∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P，

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似．

综上所述，存在点P（2，0）或（﹣ ，0）满足条件．

【解析】（1）利用待定系数法，把A、M坐标代入即可；（2） 由已知条件先求出AB′=2，AC=5，再求出△DA′P中的DA′=2.5，然后分类讨论：△DA′P∽△CAB′或△DA′P∽△B′AC，由对应边成比例列出方程，求出P坐标.