Question

【题目】已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．

（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．

（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）补全图形见解析；AD＝BE；（2）EB+DB＝AF；证明见解析．

【解析】

（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得：，，得出，证明，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出，，求出，在中，由三角函数得出，，即可得出结论．

解：（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，

由旋转的性质得：∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）EB+DB＝AF；理由如下：

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，

∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，

∵AF⊥EB，

∴∠AFB＝90°，

在Rt△ABF中，＝sin60°＝，

∴AB＝AF＝AF，

∵AD+DB＝AB，

∴EB+DB＝AB，

∴EB+DB＝AF．