Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．

（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是 ；

（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．

Answer 1

【答案】(1) A,C ；（2）；(3) 1≤b≤或-≤b≤-1．

【解析】

（1）根据已知条件求出d的范围：1≤d≤3，再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满足条件的即为随心点；

（2）根据点E（4，3）是⊙O的“随心点”，可根据，求出d=5，再求出r的范围即可；

（3）如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，求出随心点范围，再分情况点N在y轴正半轴时，当点N在y轴负半轴时，分情况讨论即可.

(1) ∵⊙O的半径r=2，
∴=3，=1

∴1≤d≤3

∵A（3，0），
∴OA=3，在范围内
∴点A是⊙O的“随心点”

∵B（0，4）

∴OB=4，而4＞3，不在范围内

∴B是不是⊙O的“随心点”，
∵C（，2），
∴OC=，在范围内
∴点C是⊙O的“随心点”，
∵D（，），
∴OD=＜1，不在范围内
∴点D不是⊙O的“随心点”，
故答案为：A,C

（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”

∴OE=5，即d=5

若， ∴r=10

若 ，

∴

(3)

∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，随心点范围

∴

∵直线MN的解析式为y=x+b，
∴OM=ON，
①点N在y轴正半轴时，
当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），
将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值为1，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3

∴在Rt△GNN’中，===，
b的最大值为，
∴1≤b≤，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-≤b≤-1．
综上所述，b的取值范围是：1≤b≤或-≤b≤-1．