Question

【题目】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．

（1）补全图形并求线段AD的长；

（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与 图形G有且只有一个交点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）补全图形见解析;AD=；（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明见解析.

【解析】

(1)由勾股定理易求得AB的长;可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB,易知 ,可得关于AC. AD.AB的比例关系式，即可求出AD的长度；

(2)当ED与 相切时，由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE,即E是AC的中点、在证明时，可连接OD,证OD⊥DE即可.

（1）依题意画出⊙O，如图所示.

在Rt△ACB中，

∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，

∴AB=5.

连接CD，

∵BC为直径，

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB.

∴ .

∴ .

（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.

证明：连接OD，

∵DE是Rt△ADC斜边上的中线,

∴ED=EC.

∴∠EDC=∠ECD.

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.

∴ED⊥OD.

∴ED与⊙O相切.

∴直线ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.