Question

【题目】如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．

（1）求证：ED∥AC；
（2）连接AE，试证明：ABCD=AEAC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BE∥AD，

∴∠E=∠ADE，

∵∠BAD=∠E，

∴∠BAD=∠ADE，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠ADE，

∴ED∥AC；

（2）解：连接AE，

∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，

∴∠CAD=∠ABE，

∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，

∴∠ADC=∠AEB，

∴△ADC∽△BEA，

∴AC：AB=CD：AE，

∴ABCD=AEAC．

【解析】（1）根据平行线的性质得出∠E=∠ADE，又根据同弧所对的圆周角相等及等量代换得出∠BAD=∠ADE，根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，从而得出∠CAD=∠ADE，根据内错角星等二直线平行得出结论；
（2）连接AE，首先根据同弧所对的圆周角相等及等量代换得出∠CAD=∠ABE，然后根据同角的补角相等得出∠ADC=∠AEB，进而判断出△ADC∽△BEA，根据相似三角形对应边成比例得出结论。
【考点精析】本题主要考查了角的平分线和平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．