Question

【题目】如图所示，抛物线经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；

（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

Answer 1

【答案】（1），C（6，10），D（1，0）；（2）A′（﹣2，4），A′在抛物线上；（3）l=，（﹣2＜x≤6），l的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为．

当x=6时，y=2×6﹣2=10，当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1，∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）；

（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在Rt△ACD中，CD==，∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称，∴∠AED=90°，∴S△ADC=×AE=×5×10，解得AE=，∴AA′=2AE=，DE==，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8﹣6=2，∴点A′坐标为（﹣2，4），当x=﹣2时，y=，∴A′在抛物线上．

（3）∵点P在抛物线上，则点P（x，），设直线A′C的解析式为y=kx+b，∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，∴，解得：，∴直线A′C的解析式为，∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x，），∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，∴l=（）﹣（）=，∴l与x的函数关系式为l=，（﹣2＜x≤6），∵l==，∴当x=时，l的最大值为．