Question

【题目】已知，直线，、分别是和上的动点，点为直线、之间任一点，且，则与之间的数量关系为______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况进行讨论：①过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解；②过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解．

解：分两种情况：

如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=90°；
如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，
∴∠AMP+∠CNP=180°×2-∠1-∠2，
∵∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=360°-90°=270°；
综上所述，∠AMP与∠CNP之间的数量关系为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
故答案为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．