Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，M（1，﹣4）．（2）S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）

【解析】

试题分析：（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=ABOC，则结论易得．

（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵抛物线过点（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC

=（3+4）1+2×4﹣33

=+﹣=3

S△ABC=ABOC=43=6，

∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：

①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，

∴PQ平行且相等AC，

∴△PEQ≌△AOC，

∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），

∴Q（2，﹣3）．

②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，

∴QP平行且相等AC，

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=1+或x=1﹣，

∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．

综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）