Question

【题目】如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE．

（1）求证：BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）

①求证：BG⊥GE；

②设DG与AB交于点M，若AG=6，AE=8，求DM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②DM=，

【解析】试题分析：（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②由AG=6，则AE=8，即GE=14，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=7 ，由（1）的结论得BG=AE=8，则根据勾股定理得AB=10，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=5，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM；

试题解析：

（1）证明：如图①，

∵AD为等腰直角△ABC的高，

∴AD=BD，

∵四边形DEFG为正方形，

∴∠GDE=90°，DG=DE，

在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE，

∴BG=AE；

（2）①证明：如图②，

∵四边形DEFG为正方形，

∴△DEG为等腰直角三角形，

∴∠1=∠2=45°，

由（1）得△BDG≌△ADE，

∴∠3=∠2=45°，

∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，

∴BG⊥GE；

②解：∵AG=6，则AE=8，即GE=14，

∴DG=GE=7，

∵△BDG≌△ADE，

∴BG=AE=8，

在Rt△BGA中，AB==10，

∵△ABD为等腰直角三角形，

∴∠4=45°，BD=AB=5，

∴∠3=∠4，

而∠BDM=∠GDB，

∴△DBM∽△DGB，

∴BD：DG=DM：BD，即 5：7=DM：5，

∴DM=，