Question

【题目】已知，正方形中，点E在上，点F在上，连接、、.且平分．

（1）如图1，求证：．

（2）如图2，若点E为BC的中点，，求的面积．

（3）如图3，若∠B=90°，连接BD分别交AF、AE于M、N两点，连接ME，若ME⊥AF于M， BM：EF=4：5，△AEF的面积为15时，求AE的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3）2．

【解析】

（1）作AH⊥EF于H．只要证明△AFD≌△AFH，推出∠FAD=∠FAH，同法可证：∠EAB=∠EAH，由此即可解决问题；

（2）由△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，推出BE=EH=3，DF=FH，设DF=FH=x，在Rt△EFC中，根据EF2=EC2+CF2，可得（x+3）2=32+（6-x）2，推出x=2，推出EF=3+2=5，即可解决问题；

（3）如图3中，如图将△ADM顺时针旋转90°得到△ABK．首先证明MN2=BN2+DM2，再证明EF=MN，由BM：EF=4：5，推出BM： MN=4：5，推出BM：NM=8：5，设BM=8k，NM=5k，则BN=3k，DM==4k，由DF∥AB，推出=2，设MF=y，则AM=ME=2y，由AFEM=15，推出3b2b=15，可得b=，由此即可解决问题．

（1）证明：作AH⊥EF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE平分∠BEF，AB⊥BE，AH⊥EF，
∴AB=AH=AD，
在Rt△AFD和Rt△AFH中，
，
∴△AFD≌△AFH，
∴∠FAD=∠FAH，同法可证：∠EAB=∠EAH，
∴∠EAF=∠BAH+∠DAH=×90°=45°．

（2）解：∵△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，
∴BE=EH=3，DF=FH，设DF=FH=x，
在Rt△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
∴（x+3）2=32+（6-x）2，
∴x=2，
∴EF=3+2=5，
∴S△AEF=×5×6=15．

（3）解：如图3中，如图将△ADM顺时针旋转90°得到△ABK．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAM+∠BAN=45°，
∵∠DAM=∠BAK，
∴∠BAN+∠BAK=45°，
∴∠NAK=∠MAN=45°，
∵AN=AN，AK=AM，
∴△ANK≌△ANM，
∴MN=KN，
∵∠ABK=∠ADM=45°=∠ABD，
∴∠KBN=90°，
∴KN2=BN2+BK2，
∵DM=BK，
∴MN2=BN2+DM2，
∵∠MAN=∠NBE，∠ANM=∠BNE，
∴∠AMN=∠BEN=∠AEF，
∵∠AMN=∠EAF，
∴△AMN∽△AEF，
∴ ，
∴EF=MN，
∵BM：EF=4：5，
∴BM： MN=4：5，
∴BM：NM=8：5，设BM=8k，NM=5k，
则BN=3k，DM==4k，
∵DF∥AB，
∴=2，设MF=y，则AM=ME=2y，
∵AFEM=15，
∴3b2b=15，
∴b2=5，
∵b＞0，
∴b=，
∴AM=EM=2，
∴AE=AM=2．