Question

【题目】如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y= （k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．

（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC=2，∠AOB=60°，

∴OG=1，CG=OGtan60°=1 = ，

∴点C的坐标是（1， ），

由 = ，得：k= ，

∴该双曲线所表示的函数解析式为y=

（2）

解：过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= a．

∴点D的坐标为（4+a， a），

∵点D是双曲线y= 上的点，

由xy= ，得 a（4+a）= ，

即：a2+4a﹣1=0，

解得：a1= ﹣2，a2=﹣ ﹣2（舍去），

∴AD=2AH=2 ﹣4，

∴等边△AEF的边长是2AD=4 ﹣8

【解析】（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用 待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．