Question

【题目】(11分)如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.

(1)在点P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂点”的点为 ；

(2)点M(－4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值 ；

(3)如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标 ；

(4)如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为8.

Answer 1

【答案】（1）Q；（2）－；（3）（－4，），（－，4）；（4）8

【解析】

（1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论；

（2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；

（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；

（4）先确定出直线EF的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出m的范围，即可得出结论．

（1）∵P（1，2），∴1+2=3，1×2=2，

∵2≠3，∴点P不是“垂点”，

∵Q（2，﹣2），∴2+2=4，2×2=4，∴Q是“垂点”．

∵N（，﹣1），∴+1=×1=，

∵，∴点N不是“垂点”，

故答案为：Q；

（2）∵点 M（﹣4，m）是第三象限的“垂点”，∴4+（﹣m）=4×（﹣m），∴m=﹣，

故答案为：﹣；

（3）设“垂点”的坐标为（a，b），∴﹣a+b=﹣ab，

∵“垂点矩形”的面积为，∴﹣ab=．

即：﹣a+b=﹣ab=，

解得：a=﹣4，b=或a=﹣，b=4，∴“垂点”的坐标为（﹣4，）或（﹣，4），

故答案为：（﹣4，）或（﹣，4），．

（4）设点E（m，0）（m＞0），

∵四边形EFGH是正方形，∴F（0，m），y=﹣x+m．设边EF上的“垂点”的坐标为（a，﹣a+m），∴a+（﹣a+m）=a（﹣a+m）

∴a2﹣am=﹣m，∴（a﹣）2=≥0，∴m2﹣4m=m（m﹣4）≥0，

∵m＞0，∴m﹣4≥0，∴m≥4，∴m的最小值为4，∴EG的最小值为2m=8，

故答案为：8．