【题目】已知：如图，平面直角坐标系中，A（0，4），B（0，2），点C是x轴上一点，点D为OC的中点．

（1）求证：BD∥AC；

（2）若点C在x轴正半轴上，且BD与AC的距离等于1，求点C的坐标；

（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

参考答案：

【答案】（1）BD∥AC；（2）点C的坐标为（，0）；（3）直线AC的解析式为y=﹣x+4．

【解析】试题分析：（1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．

试题解析：

（1）∵A（0，4），B（0，2），

∴OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点，

又点D为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，

∴BD∥AC；

（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，3），

∵BD∥AC，BD与AC的距离等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，点G为AB的中点，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°．

∴∠BAC=30°，

设OC=x，则AC=2x，

根据勾股定理得：OA=，

∵OA=4，

∴x=,

∵点C在x轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（，0）；

（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵点D为OC的中点，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠OCA=45°，

∴OC=OA=4，

∵点C在x轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（4，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．

将A（0，4），C（4，0）代入AC的解析式得：

解得：

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．

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