Question

【题目】如下图。
（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证： ．
（2）探究 如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（2）解：结论 仍然成立．

理由：如图2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（3）解：如图3，

过点D作DE⊥AB于点E．

∵AD=BD=5，AB=6，

∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，

∴DC=DE=4，

∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B．

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△APD∽△BCP，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

∴5×1=t（6﹣t），

解得：t1=1，t2=5，

∴t的值为1秒或5秒

【解析】（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据ADBC=APBP，就可求出t的值．