Question

【题目】对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．

（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；

（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值是.

【解析】试题分析：（1）当k为奇数时,k+1是偶数,则k(k+1)是能被3整除的偶数,故k(k+1)是6的倍数；当k为偶数时,则k(k+1)是能被3整除的偶数,故k(k+1)是6的倍数，
（2）根据题意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，即分解因式得到(ts)(t+s+1)=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得或或或于是得到结论．

试题解析：(1)若“矩数”m=k(k+1)是3的倍数,则k(k+1)是3的倍数，k是正整数，

当k为奇数时,k+1是偶数,则k(k+1)是能被3整除的偶数,故k(k+1)是6的倍数；

当k为偶数时,则k(k+1)是能被3整除的偶数,故k(k+1)是6的倍数，

综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；

(2)根据题意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，

即

∴(ts)(t+s+1)=30，

∵t，s是正整数，t>s，

∴ts，t+s+1是正整数，且t+s+1>ts，

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，

∴或或或

解得： 或或或

∵t，s是正整数，

∴符合条件的是： 或或，

∴或或

∵

∴的最大值是.