Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、．

(1)求直线和直线的解析式；

(2)点为直线上的一个动点，过作轴的垂线交直线于点，是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若沿方向平移(点在线段上，且不与点重合)，在平移的过程中，设平移距离为，与重叠部分的面积记为，试求与的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4，y=x；（2）m=或；（3）S=.

【解析】

（1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设M（m，），则N（m，-m+4）．当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+4-|=3，解方程即可；
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．根据S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG计算即可.

解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得，

∴直线CD的解析式为y=-x+4．
设直线OD的解析式为y=mx，则有3m=1，m=，
∴直线OD的解析式为y=x.

（2）存在．
理由：如图1中，设M（m，），则N（m，-m+4）．

当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴|-m+4-|=3，
解得m=或.

（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

因为平移距离为t，所以水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．

∴E（，0）．
联立y=3x-4t与y=，解得x=．
∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG

=（1+t）（）-

=.