Question

【题目】模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．

（1）求证：；

（2）模型应用：

①已知直线l1：与y轴交于点，将直线l1绕着点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；

②如图3，长方形ABCO，为坐标原点，的坐标为（8，6），、分别在坐标轴上，是线段上动点，点是直线上的一点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②（-6，8）或（-2，0）．

【解析】

（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可得△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得；
（2）①如图2中，设直线l1交x轴于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y轴于F．首先证明四边形PEOF是正方形，求出点P的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
②当点D为直角顶点，分点D在直线PA的上方或下方两种情况，如图3所示，当点D′在直线PA上方时，∠A D′P=90°时，A D′=P D′，设D′（x，-2x-4），利用三角形全等得到-2x-10=x+8，x=-6，OF=-2x-4 =8，即可得出结论；同理，再求出点D在直线PA下方时点的坐标．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
∴；
（2）①如图2中，设直线l1交x轴于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y轴于F．

由（1）可知△PBE≌△PAF，
∴BE=AF，PE=PF，设PE=PF=a，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四边形PEOF是正方形，
∴OE=OF=a，
∵=0时，x=-28,；x=0时，y=-4，

∴B（-28，0），A（0，-4），
∴a+4+a=28，
∴a=12，
∴P（-12，12），设直线l2的解析式为y=kx+b则有，

解得，
∴直线l2的解析式为；
②如图3中，

当点D位于直线上，点D为直角顶点时，分两种情况，
当点D′在直线PA上方时，过D′作x轴的平行线EF，交直线OA于F，交直线BC于E，设D′（x，-2x-4）；
则OF=-2x-4，AF=（-2x-4）-6=-2x-10，D′E=EF-D′F=x+8；
由（1）可知△AD′F≌△D′PE，得D′E=AF，即：
-2x-10=x+8，x=-6，OF=-2x-4 =8，
∴D′（-6，8）；
当点D在直线PA下方时，同理可得D（-2，0），

综上所述，满足条件的点D的坐标为（-6，8）或（-2，0）．