Question

【题目】如图，在直角三角形中，.

（1）如图1，点在线段上，在线段的延长线上取一点，使得.过点作，交延长线于点，过点作，交于点，交于点.判断与有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；

（2）如图2，点在线段的延长线上，在线段的延长线上取一点，使得.过点作于点，过点作，交延长线于点，交延长线于点.

①依题意补全图形；

②若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）∠ENB=∠NAC，理由见解析；（2）①见解析；②见解析；

【解析】

（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，进而得出∠MAC=∠ENB，再根据∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；

（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°-∠ENB，∠EAN=135°-∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．

(1)∠ENB与∠NAC之间的数量关系：∠ENB=∠NAC，

理由：∵BD⊥AM，

∴∠ADB=90°，

∵NE∥BD，

∴∠NFD=∠ADB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，

∴∠MAC=∠ENB，

又∵∠NAC=∠MAC，

∴∠ENB=∠NAC；

(2)①补全图形如图：

②同理可证∠ENB=∠NAC，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=45°，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABM=135°，

∴∠NEA=∠ABM∠NEB=135°∠ENB，

∵∠EAN=∠EAB∠NAC∠CAB=135°∠NAC，

∴∠NEA=∠NAE.