Question

【题目】如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．

（1）如果AB=AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；

（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）矩形，证明见解析；（2）△ABC为等腰直角三角形，证明见解析

【解析】

（1）首先利用平行线的性质得出△AEF≌△DEB，进而得出D为BC的中点，然后利用等腰三角形的性质以及矩形的判定得出即可；

（2）当△ABC为等腰直角三角形时，利用正方形的判定得出四边形ADCF为正方形即可．

解：（1）∵AF=DC，AF∥BC，

∴四边形AFCD为平行四边形，

∴AF=CD

又∵E为AD的中点，AF∥BD，

∴AE=DE，∠AFE=∠DBE，

在△AEF和△DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴BD=AF，∴BD=CD，

即D为BC的中点；

连接AB，

∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°

∴平行四边形AFCD为矩形；

（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；

理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，

∴AD⊥BC，AD=BC=BD=CD，

∴平行四边形ADCF为矩形，

∴矩形ADCF为正方形．