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【题目】如图，已知
中， 
， 
， 
，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作
交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当
时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时， 
的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出
的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当
是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【答案】（1）
；（2）不变；（3）
或3或
.
【解析】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点
作
， 
，垂足分别为点
、
，由（1）可得DH=3，DG=4；再证
，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵
， 
∴
∵
∴
∵
是
边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在
中， 
∴
∵
∴
又∵
∴四边形
是矩形
∴
∵在
中， 
∴
（2）不变
过点
作
， 
，垂足分别为点
、
由（1）可得
， 
∵
， 
∴
又∵
，
∴四边形
是矩形
∴
∵
∴
即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当
时，易证
，即
又∵
，D是AB的中点
∴
∴
2° 当
时，易证
∵在
中， 
∴设
，则
， 
当
时，易证
，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当
时，易证
∴设
，则
， 
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴
∴
