Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD， 连接AE，则四边形ABME为直角梯形，
作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，
设ME=x，则SE=x，AE= = ，
MF=AE= ，FB=2﹣x，
由MF=FBtan 60°，得 ，
解得x=1，即ME=1，
从而ME= ，
∴M为侧棱SC的中点．
（Ⅱ）解：MB= =2，
又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．
又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM= ，SA= ，AM=2，
∴SA2=SM2+AM2 ， ∠SMA=90°，
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，
则BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，
连结BH，在△BGH中，
BG= ，GH= ，BH= = ，
∴cos∠BGH= =﹣ ．
∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】
【考点精析】利用棱锥的结构特征对题目进行判断即可得到答案，需要熟知侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．