Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）证明：k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；
（2）若x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

f（x）的导数为f′（x）= ，

直线y=g（x）过定点（1，0），

若直线y=g（x）与y=f（x）相切于点（m， ），

则k= = ，即为lnm+m﹣1=0①

设h（x）=lnx+x﹣1，h′（x）= +1＞0，

则h（x）在（0，+∞）递增，h（1）=0，当且仅当m=1①成立．

与定义域矛盾，故k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；

（2）解：f（x）≤g（x）+ ﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，

则x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立m（x）min≤ ．

m′（x）= ﹣k=﹣（ ﹣ ）2+ ﹣k，

当k≥ 时，m′（x）≤0，m（x）在[e，e2]递减，于是m（x）min=m（e2）= ﹣k（e2﹣1）≤ ，

解得k≥ ，满足k≥ ，故k≥ 成立；

当k＜ 时，由y=﹣（t﹣ ）2+ ﹣k，及t= 得m′（x）=﹣（ ﹣ ）2+ ﹣k在[e，e2]递增，

m′（e）≤m′（x）≤m′（e2），即﹣k≤m′（x）≤ ﹣k，

①若﹣k≥0即k≤0，m′（x）≥0，则m（x）在[e，e2]递增，m（x）min=m（e）=e﹣k（e﹣1）≥e＞ ，不成立；

②若﹣k＜0，即0＜k＜ 时，由m′（e）=﹣k＜0，m′（e2）= ﹣k＞0，

由m′（x）单调性可得x0∈[e，e2]，由m′（x0）=0，且当x∈（e，x0），m′（x）＜0，m（x）递减；

当x∈（x0，e2）时，m′（x）＞0，m（x）递增，

可得m（x）的最小值为 +k（x0﹣1），由 +k（x0﹣1）≤ ，可得k≥ （ ﹣ ）

＞ （ ）= ＞ ，与0＜k＜ 矛盾．

综上可得k的范围是k≥ ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，设出切点，构造函数h（x）=lnx+x﹣1，求出导数和单调区间，即可得证；（2）f（x）≤g（x）+ ﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，则x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立m（x）min≤ ．对k讨论，当k≥ 时，当k＜ 时，运用单调性，求出最小值，解不等式即可得到所求范围．