Question

【题目】⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图（1），连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，

∴△BCD∽△EAD，

∴ ，

∴ ，

又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半径为5，

∴BD=2，DE=3，EC=5，

如图（2），连接OC、OE，则△OEC是等边三角形，

作OF⊥CE于F，则EF= CE= ，∴OF= ，

∴圆心O到直线CD的距离是 ．

（3）解：这样的情形共有出现三次：

当点D在⊙O外时，点E是CD中点，有以下两种情形，如图1、图2；

当点D在⊙O内时，点D是CE中点，有以下一种情形，如图3．

【解析】（1）连接OC，根据弦切角定理和圆的性质可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，结合圆周角定理可求得∠OCD=90°，可证明CD是切线；（2）先证明△BCD∽△EAD，结合条件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距离；（3）分点D在⊙O外和点D在⊙O内两种情况，当D在⊙O外时又分D在A点左边和D在B点右边两种情况，当D在⊙O内时只有一种，结合图形可给出答案．