Question

【题目】已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC= ，求OE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE．

∵是△ABC的内心，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．

∵∠DBC=∠CAD．

∴∠DBC=∠BAD．

∵∠BED=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB．

∴BD=ED．

（2）解：如图2所示；连接OB．

∵AD是直径，A平分∠BAC，

∴AD⊥BC，且BD=FC=3．

∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC= ，BF=3，

∴OB=5．

∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，

∴OF= =4．

∴DF=1．

在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．

∴BD= ．

∴DE= ．

使用OE=5﹣ ．

【解析】（1）连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB即可；（2）连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，接下来，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．