Question

【题目】如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O的直径BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠CBE=90°，

∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，

∴∠BCE=∠DCE，

即∠BCD=2∠BCE，

∵∠BCD=2∠ABD，

∴∠ABD=∠BCE，

∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，

∴CB⊥AB，

∵CB为直径，

∴AB是⊙O的切线

（2）

解：∵∠A=60°，DF= ，

∴在Rt△AFD中，AF= = =1，

在Rt△BFD中，BF=DFtan60°= × =3，

∵DF⊥AB，CB⊥AB，

∴DF∥BC，

∴∠ADF=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ACB，

∴ ，

∴ = ，

∴CB=4 ．

【解析】此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△ADF∽△ACB是解此题的关键．
（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可证得∠BCE=∠ABD，继而求得∠ABC=90°，则可证得AB是⊙O的切线；（2）由∠A=60°，DF= ，可求得AF、BF的长，易证得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．