Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）

解：∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，

∴∠DBA=∠BAC=45°，

由（1）得：AB=AD，

∴∠DBA=∠BDA=45°，

∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，

∴BD2=2AB2，即BD=2 ，

∴AD=DF=FC=AC=AB=2，

∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2

【解析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
　　　　（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．