Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，

∴A点在直线上，

∴8=2a+4，解得a=2，

∴A点坐标为（2，8），

又A点在抛物线上，

∴8=22+2b，解得b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x

（2）

解：联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 ， ，

∴B点坐标为（﹣2，0），

如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，

当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，

∴OC= AQ=4，

∴C点坐标为（0，4），

又PC∥x轴，

∴P点纵坐标为4，

∵P点在抛物线线上，

∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣ 或x= ﹣1，

∵P点在A、B之间的抛物线上，

∴x=﹣1﹣ 不合题意，舍去，

∴P点坐标为（ ﹣1，4），

∴PC= ﹣1﹣0= ﹣1；

（3）

解：∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，

∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，

∵C、E都在直线y=2x+4上，

∴C（m，2m+4），E（ ，n），

∵PC∥x轴，

∴P点纵坐标为2m+4，

∵P点在抛物线上，

∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x= ﹣1或x=﹣ ﹣1（舍去），

∴P点坐标为（ ﹣1，2m+4），

∴DE= ﹣m，CP= ﹣1﹣m，

∵四边形PCDE为矩形，

∴DE=CP，即 ﹣m= ﹣1﹣m，

整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，

即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0

【解析】（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC= AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有图象的交点、待定系数法、三角形中位线定理、矩形的性质等．在（1）中注意交点坐标的应用，在（2）中求出C点坐标是解题的关键，在（3）中用m、n表示出P点的坐标是解题的关键．本题知识点较多，计算量较大，难度适中．
【考点精析】解答此题的关键在于理解抛物线与坐标轴的交点的相关知识，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．