Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD边的中点，连结AE、BF交于点P，连结DP．

（1）求证：AE⊥BF．

（2）求证：PD=AB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据“边角边”证明，得到，；利用等量代换，得到；再根据三角形内角和定理，可得，即可得证．

（2）如图，延长交延长线于．根据“角边角”证明，得到，即得到点为的中点；根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得在直角三角形中，，即可得．

（1）∵四边形是正方形，

∴，，

∵点、分别是、边的中点，

∴，

∴在和中，

∴，

∴，，

又∵在中，，

∴，

∴，

∴．

（2）如图，延长交延长线于，则，

∵点是边的中点，∴，

∴在和中，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴点为的中点，

∵由（1）得，

∴为直角三角形，

∴，

又，

∴．