Question

【题目】在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F．

（1）如图1，当∠COD＝90°时，判断△BEF的形状，并说明理由；

（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF；

（3）当∠COD＝60°，CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．

Answer 1

【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）当△PEF成为直角三角形时的面积是．

【解析】

（1）根据对角线互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形，再由平行线的性质和正方形的性质得∠FEB=45°，从而得：△BEF是等腰直角三角形；
（2）根据AAS证明△PEF≌△COP，可得结论；
（3）根据∠COD=60°，得△COD是等边三角形，则OC=CD=3，证明△PFE≌△COP（ASA），得PF=OC=3，根据直角三角形30度角的性质计算PE和EF的长，根据三角形的面积公式可得结论．

（1）△BEF是等腰直角三角形.

理由是：

如图1，∵∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠ACB＝45°，∠F＝∠BOC＝90°，

∴△BEF是等腰直角三角形.

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB

∵PE＝PC，

∴∠BEP＝∠PCB，

∵∠OBC＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，

∴∠EPB＝∠OCP

∵EF∥AC，

∴∠COP＝∠BFE，

∴△PEF≌△CPO（AAS），

∴OC＝PF＝OB，

∴OB﹣PB＝PF﹣PB，

即OP＝BF

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=BD，OC=AC，
∴OD=OC，
∵∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD=3，
如图3，当∠PEF=90°时，

∵EF∥AC，
∴∠POC=∠OFE=60°，
∴∠BFE=120°，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=∠FEB=30°，
∵∠FEP=90°，
∴∠PEC=60°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∴∠PCO=60°-30°=30°=∠FPE，
∴△PFE≌△COP（ASA），
∴PF=OC=3，
Rt△PFE中，EF=，PE= ，
∴S△PEF=EFPE=××=；

∴当△PEF成为直角三角形时的面积是.