Question

【题目】根据题意解答

（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BFE．
（2）这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”，那普通的3个等角又会怎样呢？
变式一如图2，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60°．
①图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图3，若将∠ADE在△ABC的内部（∠ADE两边不与BC重合），绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三角形吗？
（3）变式二如图4，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a为任意角，还有相似三角形吗？
（4）交式三已知，相邻两条平形直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则cosa的值是（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵EF⊥DE，

∴∠AED+∠BEF=90°，

∴∠ADE=∠BEF，

∵∠A=∠B=90°，

∴△ADE∽△BEF

（2）

解：①∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△CDE

②∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

根据三角形的内角和定理得，∠FDB+∠BFD=120°，

∵∠FDE=60°，

∴∠FDB+∠EDC=120°，

∴∠BFD=∠CDE，

∵∠B=∠C=60°，

∴△FBD∽△CDE．

（3）

解：①∠B=∠C=50°，

根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=130°，

∵∠ADE=50°，

∴∠ADB+∠EDC=130°，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=130°，

∴△ABD∽△CDE

②B=∠C=α，根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=180°﹣α，

∵∠ADE=α，

∴∠ADB+∠EDC=180°﹣α，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=α，

∴△ABD∽△DCE．

（4）
【解析】解：（4）过点A作A⊥l1 ， 过点B作BE⊥l1交l3于F，
∴∠AFB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE，
设平行线间的距离为d，
∴AD=CE=2d，BE=CD=d，
∴DE=CD+CE=3d，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE=3d，BF=d，
在Rt△ABF中，AB= = d，
∴cosα= = = ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．