Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点O和点P，已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．

（参考公式：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
（1）若当n=4时求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x2的图像上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当n=4时，则P（4，0），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点O和点P，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴抛物线对称轴为直线x=2，

∵﹣1＜0，

∴当x=2时，y有最大值4

（2）

证明：把O、P的坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+nx=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴抛物线顶点坐标为（ ， ），

在y=x2中，当x= 时，y= ，

∴抛物线的顶点在函数y=x2的图像上

（3）

解：在y=﹣x2+nx中，当x=2时，y=2n﹣4，

∴N点坐标为（2，2n﹣4），

∴N到x轴的距离为|2n﹣4|=2|n﹣2|，

∵P（n，0），

∴OP=n，

∴S△NPO= n×2|n﹣2|=n|n﹣2|，

当△NPO的面积为1时，则有n|n﹣2|=1，

当n=2时，N、P重合，不成立，

当n＞2时，则n2﹣2n=1，解得n=1+ 或n=1﹣ （此时n小于2，舍去），

当0＜n＜2时，则2n﹣n2=1，解得n1=n2=1，

综上可知当n的值为1+ 或1时，△NPO的面积为1

（4）

解：∵抛物线解析式为y=﹣x2+nx，

∴当过A（2，2）时，代入可得2=﹣4+2n，解得n=3，

同理当抛物线过B时可求得n= ，当抛物线过点C时可求得n=4，当抛物线过点D时可求得n= ，

∴n的取值范围为3≤n≤4

【解析】（1）把原点和P点坐标代入抛物线解析式可求得b、c，则可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其对称轴和最大值；（2）用n可表示出抛物线的解析式，则可求得其顶点坐标，代入y=x2进行验证即可；（3）可用n表示出N点坐标，则可表示出N到x轴的距离和OP的长，可表示出△NPO的面积，可得到关于n的方程，可求得n的值；（4）分别把A、B、C、D的坐标代入抛物线解析式可求得n的值，则可求得n的取值范围．